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数列 \(\{a_n\}\) (ただし \(a_n\gt 0\)) について、関係式
\((a_1+a_2+\cdots+a_n)^2={a_1}^3+{a_2}^3+\cdots+{a_n}^3\)
が成り立つとき、\(a_n=n\) であることを証明せよ。