120624 初版
MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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簡単な連立漸化式を考察してみる。
\(a_1=2\), \(b_1=1\)
\(a_{n+1}=2a_n+b_n\)
\(b_{n+1}=3a_n\)
この2式から
\(a_{n+1}-b_{n+1}=-(a_n-b_n)\)
が成り立つことがわかる。したがって，
\(a_n-b_n=(-1)^{n-1}\)
また，この漸化式は\(a_n\)について，
\(a_{n+1}=3a_n+(-1)^{n}\)
いつものように，帰納的に展開してみる。
\(a_{n}=3a_{n-1}+(-1)^{n-1}\)
\(=3(3a_{n-2}+(-1)^{n-2})+(-1)^{n-1}=3^2\cdot a_{n-2}+(-3+1)(-1)^{n-1}\)
\(=3^2(3a_{n-3}+(-1)^{n-3})+(-3+1)(-1)^{n-1}=3^3\cdot a_{n-3}+(9-3+1)(-1)^{n-1}\)
であるから，予想は
\(\displaystyle{a_{n}=a_1\cdot 3^{n-1}+(-1)^{n-1}\sum_{k=1}^{n-1}(-3)^{k-1}}\)
実際
\(\displaystyle{
a_{n+1}=3a_n+(-1)^{n}}\)
\(\displaystyle{
=3\left(a_1\cdot 3^{n-1}+(-1)^{n-1}\sum_{k=1}^{n-1}(-3)^{k-1}\right)+(-1)^{n}}\)
\(\displaystyle{
=a_1\cdot 3^{n}+(-1)^{n}\sum_{k=1}^{n-1}(-3)^{k}+(-1)^{n}}\)
\(\displaystyle{
=a_1\cdot 3^{n}+(-1)^{n}\left(1+\sum_{k=1}^{n-1}(-3)^{k}\right)}\)
\(\displaystyle{
=a_1\cdot 3^{n}+(-1)^{n}\sum_{k=1}^{n}(-3)^{k-1}}\)
となり，帰納法により正しい。
\(\displaystyle{a_{n}=
\frac{1}{4}\left(\left(4a_1-1\right)\cdot 3^{n-1}+(-1)^{n-1}\right)
}\)
これは，いわゆる隣接3項間漸化式
\(a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_{n}\)
の解でもある。