131025 初版 131025 更新
平面上のベクトル\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) が
\(|\vec{a}|=|\vec{b}|=1\), \(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\dfrac{1}{2}\) を満たすとする。
(1)
実数 p, q に対して、\(\vec{c}=p\vec{a}+q\vec{b}\) とおく。
このとき、条件
\(|\vec{c}|=1\), \(\vec{a}\cdot\vec{c}=0\), p > 0
を満たす実数 p, q を求めよ。
数式から図形を連想する力を養おう。
\(\vec{c}=p\vec{a}+q\vec{b}\) は affine 座標の考えである。
平面上に \(\vec{c}\) を位置ベクトル(基点はO) にもつ点Cをとっている。
C の affine 座標 が [p, q] であるということにする。
点C の条件は
\(|\vec{c}|=1\) は OC=1 ということ。
つまり、C は O を中心とした半径 1 の円周上にある。
\(\vec{a}\cdot\vec{c}=0\) は 2直線OA, OC が垂直であるということ。
p > 0 は 平面を直線OB で2つに分けたとき、C は点 A のある側にあるということ
四角形ODCE は平行四辺形で
\(p = {\rm OD} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\),
\(q = {\rm OE} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\)