共通テスト2025 2bc 第4問
座標平面上で \(x\) 座標と\(y\) 座標がともに整数である点を格子点という。
いくつかの直線や曲線で囲まれた図形の内部にある格子点の個数を考えよう。
ただし、図形の内部は、境界(境界線)を含まないものとする。
例えば、直線 \(y=-x+5\) と \(x\) 軸, \(y\) 軸で囲まれた図形を \(S\) とする。
\(S\) の内部にある格子点の個数は 6 である。
(1) 直線 \(y=3x\) と \(x\)軸, 直線 \(x=21\) で囲まれた図形を \(T\) とする。
\(T\) の内部にある格子点の個数を求めよ。
(2) \(n\) を自然数とする。
関数 \(y=2^x\) のグラフと \(x\) 軸, \(y\) 軸および
直線 \(y=n+1\) で囲まれた図形を \(U\) とする。
\(U\) の内部にある格子点の個数を求めよ。
(3) \(a\), \(b\), \(c\) は整数で、
\(a\gt 0\), \(b^2-4ac\lt 0\) を満たすとする。
放物線 \(y=ax^2+bx+c\) と \(x\)軸, \(y\)軸および
直線 \(x=n+1\) で囲まれた図形を \(V\) とする。
すべての自然数 \(n\) に対して、
\(V\) の内部にある格子点の個数が \(n^3\) となる、
\(a\), \(b\), \(c\) の値を求めよ。
解説
(1)
\(T\) の内部で、
直線 \(x=k\) (\(k\) は整数) 上にある格子点の個数を \(k\)
で表そう。
\(y=3x\) と \(x=k\) の交点の座標は \((k,3k)\) だから、
\(3k-1\)
\(T\) の内部にある格子点の個数は
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{20}(3k-1)
=\dfrac{1}{2}\cdot 20\cdot(2+59)=610}\)
(2)
\(U\) の内部で、
直線 \(x=k\) (\(k\) は整数) 上にある格子点の個数 \(k\)
で表そう。
\(2^k-1\)
\(U\) の内部にある格子点の個数は
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(2^k-1)
=2(2^n-1)-n=2^{n+1}-n-2}\)