不定方程式

k = 0 のとき，この等式を満たす 整数 n　は存在しない。
\((n,k)=(n_1,k_1)\) が この等式を満たすならば， \((n,k)=(n_1,-k_1)\) も この等式を満たすので， k は自然数として問題を考えてよい。
また，\(k^2-99\) は整数なので，n は 0以上の整数である。

n は偶数でなければならない。
理由を述べる。
\(7^n\) は奇数であるから，\(k^2\) は偶数である。
よって，k は偶数である。
したがって，\(k^2-99\) は 4で割って1余る数である。
一方，
\(7^n\) を 4で割った余りは，
n が 偶数のときは 1, n が奇数のときは 3 である。
ゆえに，n は偶数である。

n = 2m なる整数 m がある。
\(7^{2m}-k^2=(7^m-k)(7^m+k)\)
\(7^m-k = M\), \(7^m+k = N\) とおく。 k は自然数としているので M< N かつ M, N は整数である。
\(7^m = \dfrac{M+N}{2}\), \(7^m > 0\) より， M+N > 0

M, N は整数，M< N, N は正の数, m は 0以上の整数，k は自然数
\(MN=-99\), \(7^m = \dfrac{M+N}{2}\), \(k=\dfrac{N-M}{2}\)
\((M, N)=(-1,99)\) のとき，\((m, k)=(2,50)\), \((n,k)=(4,50)\)
\((M, N)=(-3,33)\) のとき，\(7^m=15\) 等式を満たす整数はない。
\((M, N)=(-9,11)\) のとき，\((m, k)=(0,10)\), \((n,k)=(0,10)\)

以上より，
\((n,k)=(4,50), (4,-50), (0, 10), (0,-10)\)