パラメータの入った二次関数の最大・最小 (1) 220207

\(k\) を定数とする。
\(f(x)=x^2-2kx+k+2\) を考察します。
\(y=f(x)\) は、\(y\) は\(x\) の関数\(f\) であるということです。 \(x\) と \(y\) の関係を記述している式ともいえます。 \(k\) は、その値によって、\(x\) と \(y\) との関係が少し変わりますよ、 という役割をしています。 \(k\) のことをパラメータということがあります。

放物線\(y=f(x)\) の
軸の方程式は\(x=k\)
頂点の座標は\(\left(k, -k^2+k+2\right)\)
です。
関数\(f(x)\)は、
\(x\geqq k\) において、単調に増加します。
\(x\leqq k\) において、単調に減少します。
減少から増加に変わる\(x=k\) を、 \(f(x)\)の値が極小となる\(x\) といいます。

関数\(f(x)\) の最小値を \(k\) の式で表してください。
これを\(m(k)\) として、\(m(k)\) のグラフをかいてみよう。

\(k=1\) のときの、\(y=f(x)\) のグラフ