チェバの定理 220224
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三角形 ABC があります。
それぞれの辺を延長した直線を考えます。
平面上に点 P をとります。
直線 AP と直線 BC の交点を D,
直線 BP と直線 CA の交点を E,
直線 CP と直線 AB の交点を F とします。
このとき，
\(\frac{\rm AF}{\rm FB}\cdot\frac{\rm BD}{\rm DC}\cdot\frac{\rm CE}{\rm EA}=1\)
が成り立ちます。
これを，チェバの定理といいます。
証明
いま，△ABC は 三角形 ABC の面積を表すことにします。
\(\frac{\triangle\rm APB}{\triangle \rm APC}=\frac{\rm BD}{\rm DC}\)…① が成り立ちます。
なぜなら，
\(\frac{\triangle\rm ABD}{\triangle \rm ACD}\)
\(=\frac{\triangle\rm PBD}{\triangle \rm PCD}=\frac{\rm BD}{\rm DC}\)
したがって，
\(\frac{\triangle\rm APB}{\triangle \rm APC}\)
\(=\frac{\triangle{\rm ABD}-\triangle{\rm PBD}}
{\triangle{\rm ACD}-\triangle{\rm PCD}}=\frac{\rm BD}{\rm DC}\)
同様に，
\(\frac{\triangle\rm BCE}{\triangle \rm BAE}\)
\(=\frac{\triangle\rm PCE}{\triangle \rm PAE}=\frac{\rm CE}{\rm EA}\) より
\(\frac{\triangle\rm BPC}{\triangle \rm BPA}\)
\(=\frac{\triangle{\rm BCE}-\triangle{\rm PCE}}
{\triangle{\rm BAE}-\triangle{\rm PAE}}=\frac{\rm CE}{\rm EA}\)…②
また，
\(\frac{\triangle\rm CAF}{\triangle \rm CBF}\)
\(=\frac{\triangle\rm PAF}{\triangle \rm PBF}=\frac{\rm AF}{\rm FB}\) より
\(\frac{\triangle\rm CPA}{\triangle \rm CPB}\)
\(=\frac{\triangle{\rm CAF}-\triangle{\rm PAF}}
{\triangle{\rm CBF}-\triangle{\rm PBF}}=\frac{\rm AF}{\rm FB}\)…③
明らかに，
\(\frac{\triangle\rm CPA}{\triangle \rm CPB}\cdot\)
\(\frac{\triangle\rm APB}{\triangle \rm APC}\cdot\)
\(\frac{\triangle\rm BPC}{\triangle \rm BPA}=1\) だから，
チェバの定理が成り立つことがいえました。