三角形の重心 220306

三角形ABC の重心を G とします。
BC の中点を D として、AD の長さを求めてみましょう。
△ABC において、
\(\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)…①
△ABD において、
\({\rm AD}^2=c^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2-ca\cos B\)
① より、
\({\rm AD}^2=\dfrac{2(c^2+b^2)-a^2}{4}\)
すなわち、\(2({\rm AD}^2+{\rm BD}^2)={\rm AB}^2+{\rm AC}^2\)