cos と 線分の射影 余弦定理(1) 220316

直線AB とAB 上にない点C をとります。
点C からAB に垂線を下し、ABとの交点をH とします。
線分AH を 線分AC の直線AB への正射影 と呼ぶことにします。
∠CAB = θ とおくと、三角比の定義によって、
θ が鋭角ならば、 AH = AC cos θ
θ が鈍角ならば、 AH = -AC cos θ です。
cos(余弦) のとても大切な見方だと感じています。

θ を単に角 A とします。
三角形 ABC において、 BC = a. CA = b, AB = c とします。(慣例)
直角三角形ACH において、 A が鋭角ならば、 AH = b cos A
A が鈍角ならば、 AH = -b cos A です。
(A が鈍角ならば cos A は負の値だということに注意しましょう。)
また、 CH² = AC² - AH² = b² - (b cos A)²
直角三角形BCH において、 A が鋭角ならば、 BH = AB - AH
A が鈍角ならば、 BH = AB + AH
いずれにしても、BH = c - b cos A
BC² = CH² + BH² より
a² = b² + c² - 2bc cos A
これを余弦定理と呼んでいます。