点と直線の有名な問題 220408

問題
xy 平面上に2点 A(3, 2), B(8, 9) がある。
点P が直線ℓ: y = x - 3 上を動くとき、
AP + PB の最小値と、そのときの点P の座標を求めよ。

いま、2点A, B は直線ℓ に関して同じ側にあります。
ℓ に関して A と対称な点を A' とすると、AP = A'P
AP + PB は A'P + PB と等しく、さらにこれは 線分A'B の長さより大きいです。
したがって、AP + PB の最小値は A'B で
そのときのP は 2直線 ℓ, A'B の交点です。

では、A' の座標はどのように求めればよいでしょうか。
ℓ は 線分AA' の垂直二等分線です。
ℓ の方程式は x - y = 3 … ① です。
直線AA' はℓ と垂直で点A を通りますから、 方程式は x + y = 5 … ② です。
① ② の交点は 線分AA' の中点M です。
M の座標は連立方程式を解いて (4, 1)
A' は 点M に関して A と対称な点だから (5, 0)

線分A'B の長さは \(3\sqrt{10}\) で、これが求める最小値です。
直線A'B の方程式は y = 3x - 15 です。
これと、ℓ との交点の座標は　(6, 3) です。
これが最小値を与える P の座標です。