YouTube 分母の有理化(3乗根)
京都大 2023
\(\dfrac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}\) の分母を有理化せよ。
うまい方法もあるようですが、
計算は面倒でも他で使える方法でやってみたいと思います。
\(\sqrt[3]{3}=\alpha\) と置きます。
\(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2\) の形ならば \(\alpha-\beta\) を分母分子にかければいいのですが、
そうではないので、まずは、\(\alpha\) の1次式を作りたいと思います。
それには、\(x^3\) を \(2x^2+x+5\) で割ります。
商は\(\dfrac{2x-1}{4}\) 余りは \(\dfrac{-9x+5}{4}\) だから、
\(4x^3=(2x^2+x+5)(2x-1)+(-9x+5)\) と書けます。
すなわち,
\((2\alpha^2+\alpha+5)(2\alpha-1)=4\alpha^3+9\alpha-5\)
\(\alpha^3=3\) に留意します。
初手は分母分子に\(2\alpha-1\) を掛けることにします。
\(\dfrac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}\)
\(=\dfrac{55(2\alpha-1)}{(2\alpha^2+\alpha+5)(2\alpha-1)}\)
\(=\dfrac{55(2\alpha-1)}{4\alpha^3+9\alpha-5}\)
\(=\dfrac{55(2\alpha-1)}{9\alpha+7}\)
次は、\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\) を使います。
\(\dfrac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}\)
\(=\dfrac{55(2\alpha-1)}{9\alpha+7}\)
\(=\dfrac{55(2\alpha-1)(81\alpha^2-63\alpha+49)}{(9\alpha+7)(81\alpha^2-63\alpha+49)}\)
\(=\dfrac{55(162\alpha^3-207\alpha^2+161\alpha-49)}{729\alpha^3+343}\)
\(=\dfrac{55(-207\alpha^2+161\alpha+437)}{2530}\)
これで、分母の有理化は完了しました。
あとは、整理します。
\(2530=5\cdot 11\cdot 2\cdot 23\)
とりあえず、分母分子 55 で割ります。
23 も怪しいなと思うと、
\(207=23\cdot 9\),
\(161=23\cdot 7\),
\(437=23\cdot 19\)
したがって、
\(\dfrac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}\)
\(=\dfrac{55(-207\alpha^2+161\alpha+437)}{2530}\)
\(=\dfrac{-9\sqrt[3]{9}+7\sqrt[3]{3}+19}{2}\)
これで完了です😄