\(\sqrt{3}\) が有理数であることを仮定する。
\(\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}\) なる
互いに素である整数 \(a\), \(b\) がある。(…①)
\(a=\sqrt{3}b\)
両辺を 2乗して \(a^2=3b^2\) …②
右辺 \(3b^2\) は 3の倍数だから、左辺 \(a^2\) は 3の倍数である。
\(a^2\) は3 の倍数ならば \(a\) は 3の倍数である。
(…③ 証明は
こちら)
したがって、\(a=3k\) なる整数 \(k\) がある。
②式 は \(9k^2=3b^2\) すなわち \(b^2=3k^2\)
右辺 \(3k^2\) は 3の倍数だから、左辺 \(b^2\) は 3の倍数である。
\(b^2\) は3 の倍数ならば \(b\) は 3の倍数である。(…④)
③④ は ① に矛盾している。
したがって、\(\sqrt{3}\) が有理数と仮定したのは誤り。
\(\sqrt{3}\) は無理数であることがいえた。