x, y, z を x≦ y ≦ z を満たす自然数とします。
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) を満たす
x, y, z の組 (x, y, z) をすべて求めてみよう。
これしかありません。という説明がポイントです。
必要条件をおさえましょう。
x = 1 とする。
\(\frac{1}{x}=1\), \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\gt 0\) だから
条件を満たす (x, y, z) はない。
x = 2 とする。
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\)
y = 2 のとき、\(\frac{1}{z}\gt 0 \) だから
条件を満たす (x, y, z) はない。
y = 3 のとき、\(\frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)
(x, y, z) = (2, 3, 6) は条件を満たす。
y = 4 のとき、\(\frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)
(x, y, z) = (2, 4, 4) は条件を満たす。
y ≧ 5 のとき、\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leqq\frac{2}{5}\lt\frac{1}{2}\)
だから、
条件を満たす (x, y, z) はない。
x = 3 とする。
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}\)
y = 3 のとき、\(\frac{1}{z}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
(x, y, z) = (3, 3, 3) は条件を満たす。
y ≧ 4 のとき、\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leqq\frac{1}{2}\lt\frac{2}{3}\)
だから、
条件を満たす (x, y, z) はない。
x ≧ 4 のとき、
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}
\leqq\frac{3}{4}\lt 1\) だから、
条件を満たす (x, y, z) はない。
(言い換えれば x は 4より小さいことが必要なんです。)
以上より、
条件を満たす (x, y, z) をすべてあげると
(x, y, z) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)