ax + by で生成される整数 221202

記号を準備します。
正の整数の集合を P とします。
集合 B_n を P の要素 x, y を用いて， 3x + ny となる整数の全体とします。
記号で表せば， B_n = {3x + ny | x∈ P, y∈ P}
また，P の要素で3の倍数の集合を C₀,
3で割って1余る数の集合を C₁,
3で割って2余る数の集合を C₂ と表すことにします。

(1)
y₀∈ P を１つとって固定します。
このy₀ に対して，
集合 A_y0 = {3x + 5y₀ | x∈ P} とします。
つまり，
A₀ = {3x + 5・0 | x∈ P}
A₁ = {3x + 5・1 | x∈ P}
A₂ = {3x + 5・2 | x∈ P}
次のことが成り立ちます。
(i) A₀ は C₀ と等しい。
(ii) A₁ は C₂ の要素でかつ 5 以上の整数
(iii) A₂ は C₁ の要素でかつ 10 以上の整数
(iv) y₀ を 3 で割った余りを r とすると(r = 0, 1, 2)，  A_y0 ⊂ A_r
したがって，B₅ の補集合は {1, 2, 4, 7}

(2)
y₀∈ P を１つとって固定します。
このy₀ に対して，あらためて
集合 A_y0 = {3x + 17y₀ | x∈ P} とします。
つまり，
A₀ = {3x + 17・0 | x∈ P}
A₁ = {3x + 17・1 | x∈ P}
A₂ = {3x + 17・2 | x∈ P}
次のことが成り立ちます。
(i) A₀ は C₀ と等しい。
(ii) A₁ は C₂ の要素でかつ 17 以上の整数
(iii) A₂ は C₁ の要素でかつ 34 以上の整数
(iv) y₀ を 3 で割った余りを r とすると(r = 0, 1, 2)，  A_y0 ⊂ A_r
すなわち，
C₀ の要素はすべて，B₁₇ の要素です。
C₁ の要素のうち 31以下の数は B₁₇ の要素ではありません。
C₂ の要素のうち 14以下の数は B₁₇ の要素ではありません。
したがって，
32 以上の整数は B₁₇ の要素であることがいえました。
32 以上の整数であれば(*) を満たす 0 以上の整数x, y の組が必ず存在することがいえたことになります。

(3)
y₀∈ P を１つとって固定します。
このy₀ に対して，あらためて
集合 A_y0 = {3x + ny₀ | x∈ P} とします。
つまり，
A₀ = {3x + n・0 | x∈ P}
A₁ = {3x + n・1 | x∈ P}
A₂ = {3x + n・2 | x∈ P}
n は C₂ の要素ですから， 次のことが成り立ちます。
(i) A₀ は C₀ と等しい。
(ii) A₁ は C₂ の要素でかつ n 以上の整数
(iii) A₂ は C₁ の要素でかつ 2n 以上の整数
(iv) y₀ を 3 で割った余りを r とすると(r = 0, 1, 2)，  A_y0 ⊂ A_r
すなわち，
C₀ の要素はすべて，B_n の要素です。
C₁ の要素のうち 2n - 3 以下の数は B_n の要素ではありません。
C₂ の要素のうち n - 3 以下の数は B_n の要素ではありません。
2n - 3 は n - 3 より大きいです。
したがって，
(*) を満たす 0 以上の整数x, y の組が存在しないような a の最大値は 2n - 3 です。