積分とは 220408

区間 α ≦ x ≦ β において、関数 f(x) が定義されているとします。
ある自然数 n をとって、\(\varDelta x=\frac{\beta-\alpha}{n}\) とおきます。
k = 0, 1, 2, 3, …, n に対して、 \(x_k = \alpha + k\cdot\varDelta x\) とします。

\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^nf(x_k)\varDelta x}\) とおきます。
n を 限りなく大きくしたときの \(S_n\) の極限を f(x) の定積分 とします。
つまり、 \(\displaystyle{\int_\alpha^\beta f(x)}\) \(\displaystyle{=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\varDelta x }\)
S_n を、 k を 0 から n - 1 まで動かしたときの和と考えても同じです。

関数値に重みをつけて和をとる。
これが、積分の考えで、考え自体は微分とは無関係なものです。
面積や体積を求める、速さの変化する物体の運動の道のりなどを計算したいという 要求から考えられました。

ニュートンとライプニッツが、微分と積分は逆の関係にあることに 気がついたのでした。
本来無限級数の和である \(\displaystyle{\int_\alpha^\beta f(x)}\) が、
微分して f(x) となる 関数 F(x) が見つかれば、
F(β) - F(α) を計算すれば求められることはすごく画期的でした。

ニュートンとライプニッツが、気づいたことをざっくりと見てみます。
\(\displaystyle{\int_\alpha^xf(t)\ dt=F(x)}\) とおきます。
ある a と 小さい数 h について、
F(a + h) - F(a) は ほぼ f(a)・h に等しくなります。
つまり、
\(\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{F(a+h)-F(a)}{h}=f(a)}\)
これは x = a における F(x) の微分係数が f(a) に等しいことを意味しています。
したがって、現在の言葉で言えば、
f(x) は F(x) の 導関数であること
F(x) は f(x) の原始関数であること
に気づいたのでした。