無限級数の和 不等式の証明 220414

問題
極限値 \(\displaystyle{S=\lim_{n\rightarrow\infty}\left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots\cdots+\frac{1}{2n} \right)}\)

問題
\(0\leqq x\leqq 1\) のとき \(1\leqq 1+x^2\leqq 1+x\) であることを用いて、 不等式 \(\displaystyle{ \log 2 \lt \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} \lt 1 }\) を証明せよ。

問題
n は自然数とする。次の不等式を証明せよ。
\( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\cdots+\frac{1}{n}\gt \log(n+1) \)

問題
n は 2 以上の自然数とする。次の不等式を証明せよ。
\( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\cdots+\frac{1}{n}\lt 1+\log n \)