131020 初版
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2 =1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 =\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\)

証明 1

ここより  \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)}\)
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)-\dfrac{1}{2}n(n+1)}\)
\(=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+4)-3\cdot\dfrac{1}{6}n(n+1)\) \(=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

証明 2

\((k-1)^3=k^3-3k^2+3k-1\) だから　 \(3k^2-3k+1=k^3-(k-1)^3\)
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(3k^2-3k+1)}\) \(=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(k^3-(k-1)^3)}\) \(=n^3\)
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2 =\dfrac{1}{3}(n^3-n)+\sum_{k=1}^{n}k}\) \(=\dfrac{1}{6}n(2n^2-2+3n+3)\) \(=\dfrac{1}{6}n(2n^2+3n+1)\)
\(=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

証明 3 数学的帰納法
\(S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2}\) とおく

(I) n = 1 のとき成り立つか。
Sn = 12 = 1
\(\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)=\dfrac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=1\)
ゆえに n = 1 のとき成り立つ。
(II) n = k のとき成り立つと仮定して n = k+1 のとき成り立つか。
\(S_{k+1}=S_k+(k+1)^2\) \(=\dfrac{1}{6}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2\)
\(=\dfrac{1}{6}(k+1)(2k^2+7k+6)\) \(=\dfrac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\)
ゆえに n = k のとき成り立つと仮定すると n = k+1 のとき成り立つ。
(I) (II) よりすべての自然数 n で成り立つ。