121118 初版
MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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ベクトル 第12回の2 補足
ベクトルの学習の要諦は次の2点でしょうか。
1つめは計算です。
形式的な処理をきちんとできるようにしましょう。
2つめは図形への応用ですから，
図形をどのように式で表現しているか
式は図形のどんなことを表現しているか
を理解しておくことです。
\(\overrightarrow{\rm AB}=\vec{b}-\vec{a}\)
この式は大切です。
AからBに向かう矢印はBの位置ベクトルからAの位置ベクトルを引いたものといっています。
例えば，位置ベクトルの基点をDとするならば，
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm DB}-\overrightarrow{\rm DA}\)
DはABを2:1に内分する点である⇔
\(\overrightarrow{\rm AD}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\rm AB}\)
⇔ \(\overrightarrow{\rm OD}-\overrightarrow{\rm OA}
=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}\right)\)
⇔ \(\overrightarrow{\rm OD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\rm OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\rm OB}\)
最初の言いかえがcruxで，
次は上の位置ベクトルで書き換える有名な変形です。
この基点はOでなくてもいい。位置ベクトルで書き換えているという理解が大切です。
すでに両方向矢印で書いてあるので述べていることになるのですが，
あえてかきますが，逆も大切で，
\(\overrightarrow{\rm BQ}=\dfrac{4}{7}\overrightarrow{\rm BC}\)
⇔ QはBCを4:3に内分する点である
3点の位置関係を記述する式
A, B, Pが同一直線上にある⇔
There exists \(t\) such that \(\overrightarrow{\rm AP}=t\overrightarrow{\rm AB}\)
⇔ \(\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA}
=t\left(\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}\right)\)
⇔ \(\overrightarrow{\rm OP}=(1-t)\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\)
すでに両方向矢印で書いてあるので述べていることになるのですが，
あえてかきますが，逆も大切で，
\(\overrightarrow{\rm CM}=t\overrightarrow{\rm CD}\)
⇔ C, D, Mは同一直線上にあり，CM:CD=\(t:1\)
分点公式を覚えたり，ベクトル方程式を覚えたりするより，
ものの様子(幾何)をどうやって(ベクトルを用いた)式で表現するか，
(ベクトルを用いた)式が何を表しているかが，
学習の主題となるようです。(もう一度言いました。)
視点を変えてみます。
ベクトルの分解といっていますが，
3点O, A, Bできまる平面OABがあったとき，
平面OAB上の任意の点Pに対して，次の式を満たす\((s,t)\)が一意に定まる
\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\)
逆に\((s,t)\)を与えたときの，
点の位置を述べたり図示したりも，
できてほしいことです。
例をいくつか挙げます。
\(\overrightarrow{\rm AP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\rm AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\rm AC}\)
⇔ PはBCを2:1に内分する点
\(\overrightarrow{\rm AQ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{\rm AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{\rm AC}\)
⇔ BCを1:2に内分する点をDとして，ADを3:2に内分する点がQ
\(\overrightarrow{\rm BP}=s\overrightarrow{\rm BD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\rm BE}\)
⇔ BEを1:2に内分する点を通り，BDに平行な直線上にPがある
\(\overrightarrow{\rm PD}=(1-t)\overrightarrow{\rm PM}+t\overrightarrow{\rm PN}\)
⇔ \(\overrightarrow{\rm PD}=s\overrightarrow{\rm PM}+t\overrightarrow{\rm PN}\), \(s+t=1\)
⇔ Dは直線MN上にある
\(\overrightarrow{\rm OD}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\), \(2s+t=1\)
⇔ \(\overrightarrow{\rm OD}=(2s)\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OA}\right)+t\overrightarrow{\rm OB}\), \(2s+t=1\)
⇔ OAの中点をMとして，直線MB上にDがある