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121226 改訂
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線分の分点は,伝統的に大切な概念である。

線分ABをm : n の比に内分する点は二つある。
AP : PB = m : n であるが,
線分AB上にある点を内分点, 直線AB上で線分ABの外にある点を外分点という。
例えば,A(2, 5), B(6, 3) のとき,
ABを 3 : 1 に内分する点 P (5,72)
ABを 1 : 3 に内分する点(3,92)
ABを 3 : 1 に外分する点 Q (8,2)
ABを 1 : 3 に外分する点(0,6)
どうやって計算するか。
t -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x座標 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y座標 6 112 5 92 4 72 3 52 2
AB=(4,2)
ABを 3 : 1 に内分する点を P とすると,
AP=34AB=(3,32)
OP=OA+AP =(2,5)+(3,32)=(5,72)

一般には,

A(x1,y1), B(x2,y2) として,
線分ABを m : n に分ける点Pの座標を求める。
AP=mm+nAB
OPOA =mm+n(OBOA)
OP=nm+nOA+mm+nOB
線分ABを m : n に分ける点Pの位置ベクトルは
OP=nm+nOA+mm+nOB
=nm+n(x1,y1)+mm+n(x2,y2)
3 : 1 に内分する点は そのまま 3 : 1 に分ける,さらには34:14に分ける
3 : 1 に外分する点は 3 : (-1) に分ける,さらには32:(12)に分けると解釈する。