位置ベクトル

ベクトルは，計算だけなら規則を覚えればたやすい。 しかもその規則はほとんど自然である。

ちょっと不自然なのがあって， それが
継ぎ足し
\(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}\)
と，それを移項して得られる，始点変更公式である。
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}\)

位置ベクトルの考えは，多少難解で
教科書による定義は，次のように書いてある。

位置ベクトルとは，
点の位置を表すベクトルのことである。
座標の考えの拡張である。
ざっくりいうと， 基準点 O から 目的の点 P が どのくらい離れているか(距離だけでなく向きも込めて) をベクトルで表しているのである。

混乱するのは，
\(\overrightarrow{\rm AB}\) は
A から B への 有向線分であるが， Aに関するBの位置ベクトルとみる場合があるからである。

A\((\vec{a})\), B\((\vec{b})\)
すなわち,
(O に関する)点A の位置ベクトルを \(\vec{a}\), 点B の位置ベクトルを \(\vec{b}\)
とする。
もっというと，
\(\overrightarrow{\rm OA}=\vec{a}\),  \(\overrightarrow{\rm OB}=\vec{b}\)
これらは，同じことをいっている。

\(\overrightarrow{\rm AP}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{\rm AB}\)
これは，
\(\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA}= \dfrac{2}{5}(\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA})\)
よって，\(\overrightarrow{\rm OP}\) すなわち， P の位置ベクトルは
\(\overrightarrow{\rm OP}= \dfrac{3}{5}\vec{a}+\dfrac{2}{5}\vec{b}\)
この変形はよく使うから，公式にしてしまおう， というのが分点の位置ベクトルを求める公式である。

O[0, 0], A[1,0], B[0,1] とすると，
AB を 2:3 に内分する点P は
P[\(\dfrac{3}{5}\), \(\dfrac{2}{5}\)]
なんて 書き方に慣れると，ベクトルの計算はすごく早くなる。

\(\overrightarrow{\rm AB}=\vec{b}\),  \(\overrightarrow{\rm AC}=\vec{c}\)
これは，
(A に関する)点B の位置ベクトルを \(\vec{b}\), 点C の位置ベクトルを \(\vec{c}\)
とすることを意味している。
これから，点の位置は
A を基点にしますよ。
\(\vec{b}\), \(\vec{c}\) の結合で表しますよ。
と宣言もしている。

\(\overrightarrow{\rm BP}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{\rm BC}\)
これは，
\(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB}= \dfrac{2}{5}(\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB})\)
よって，\(\overrightarrow{\rm AP}\) すなわち， P の位置ベクトルは
\(\overrightarrow{\rm AP}= \dfrac{3}{5}\vec{b}+\dfrac{2}{5}\vec{c}\)
この変形はよく使うから，公式にしてしまおう， というのが分点の位置ベクトルを求める公式である。

A[0, 0], B[1,0], C[0,1] とすると，
BC を 2:3 に内分する点P は
P[\(\dfrac{3}{5}\), \(\dfrac{2}{5}\)]
なんて 書き方に慣れると，ベクトルの計算はすごく早くなる。