n乗根

160809 初版 160809 更新
 a を n個掛け合わせたものを,a の n乗といいます。 実数 x に対して x2の対応① を考えます。
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x2 9 4 1 0 1 4 9 16 25
このとき,定義域をすべての実数とすると, 値域は0 以上の実数になります。
 この逆対応を平方根(2乗根)といいます。 すなわち,4の平方根は2, -2,  9の平方根は3, -3,  0の平方根は0 です。
2の平方根は有理数ではありません。 平方根のうち正の数を \(\sqrt{2}\) と書くと, 負の数は \(-\sqrt{2}\) です。 16の正の平方根は \(\sqrt{16}\) と書くことができますが, これは有理数で \(\sqrt{16}=4\)
一般に,a の平方根のうちの1つを \(\sqrt{a}\) と書きます。 a が 正の数であればこれは正の数です。 対応① の値域に負の数はありませんので, a が 負の数であれば,これは実数ではありません。
\(\left(\sqrt{a}\right)^2=a\), \(\left(-\sqrt{a}\right)^2=a\)
 \(\sqrt{2}\) はいくらでしょうか。 実数の小数展開は別の機会に考えてみることにします。
 実数 x に対して x3の対応② を考えます。
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x3 -27 -8 -1 0 1 8 27 64 125
このとき,定義域をすべての実数とすると, 値域もすべての実数になります。
 この逆対応を立方根(3乗根)といいます。 すなわち,8の立方根は2,   -8の立方根は-2,  0の立方根は0 です。
2の立方根は実数ではありません。 これを\(\sqrt[3]{2}\) と書くことにします。 27の立方根は \(\sqrt[3]{27}\) と書くことができますが, これは有理数で \(\sqrt[3]{27}=3\)
一般に,a の立方根を \(\sqrt[3]{a}\) と書きます。 a が 正の数であればこれは正の数です。 a が 負の数であれば負の数です。
例えば,方程式\(x^3=2\) の1つの解は \(x=\sqrt[3]{2}\) ですが,他に2つ虚数解があります。