x + 4/x の最小値

x > 0 のとき，\(x+\dfrac{4}{x}\) の最小値を求めてみます。

a を正の数として，\(f(x) = x+\dfrac{a^2}{x}\) とします。

\(f(a+h)-f(a)=(a+h)+\dfrac{a^2}{a+h}-2a\) \(=\dfrac{h^2}{a+h}\)
ですから，
\(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{h}{a+h}\) … ①

h を 任意の正の数とすると，① の値は正の数になりますから，
f(x) は x ≧ a で単調に増加します。

h を 任意の負の数とすると(ただし，a + h は正の数とします)， ① の値は負の数になりますから，
f(x) は 0 < x ≦ a で単調に減少します。

さらに， \(\displaystyle{\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=0}\) ですから，
f(x) は x = a で最小値 2a をとります。

x + 4/x は x > 0 において，x = 2 で最小値 4 をとります。