\(m\)倍写像を観察してみます。
\(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\)くらいが，いいでしょうか。

\(a\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
\(2a\)  (mod 15)	2	4	6	8	10	12	14	1	3	5	7	9	11	13	0
\(3a\)  (mod 15)	3	6	9	12	0	3	6	9	12	0	3	6	9	12	0
\(5a\)  (mod 15)	5	10	0	5	10	0	5	10	0	5	10	0	5	10	0
\(8a\)  (mod 15)	8	1	9	2	10	3	11	4	12	5	13	6	14	7	0
\(9a\)  (mod 15)	9	3	12	6	0	9	3	12	6	0	9	3	12	6	0
\(10a\)  (mod 15)	10	5	0	10	5	0	10	5	0	10	5	0	10	5	0
\(18a\)  (mod 15)	3	6	9	12	0	3	6	9	12	0	3	6	9	12	0
\(22a\)  (mod 15)	7	14	6	13	5	12	4	11	3	10	2	9	1	8	0
\(23a\)  (mod 15)	8	1	9	2	10	3	11	4	12	5	13	6	14	7	0
\(24a\)  (mod 15)	9	3	12	6	0	9	3	12	6	0	9	3	12	6	0

グループでそれぞれの段を実験させてみて，
みんなで考察して，気づいたことを定式化して，
なぜそうなるのか推論するといいと思います。
実験して予想を立てても，それをちゃんと証明できるのが，
理科とも異なる数学の誇れるよさだと思います。

伝えたいこと，目的があって，
うまい題材をみつけて，
目論見どおりに集団の意見を誘導する，
生徒が自分たちですべて獲得した気にさせる。