数学的活動の一場面

\(\dfrac{1}{7}\)を小数に展開すると循環節が6で，
しかも\(\dfrac{2}{7}\), \(\dfrac{3}{7}\)なども同じ循環が現れることは， よく知られている話題ですが，
あの10倍して7で割る操作を繰り返すことは，
\(10^m\)の7で割った余りを考えていることと同じです。

\(m\)	1	2	3	4	5	6
\(10^m\)  (mod 7)	3	2	6	4	5	1

この表も例えば\(10^4\)を7で割って余りを求めているわけではなく，
10を掛けては余りをとる操作を繰り返しています。(等比数列です)

例えば\(\dfrac{1}{5}\)の3進展開は
\(3^m\)の5で割った余りを考えていることと同じです。

\(m\)	1	2	3	4
\(3^m\)  (mod 5)	3	4	2	1

したがって，循環節の長さは4になります。

例えば，10進小数展開は，
はした(余っている部分)を10倍に拡大しては どの区画に入るかを調べているのです。
小学校の教科書はきちんと書いてあります。
\(\dfrac{1}{13}\)の小数展開  アニメーション

この先にあるのは，
原始根だったり，フェルマーの小定理だったり，平方剰余だったりします。