\(x > 0\) のとき，不等式\(x+\dfrac{1}{x}\geqq 2\) が成り立つことを証明せよ。
また，等号が成り立つのはどのようなときか。

正の数 \(A\), \(B\) で  \(A+B\geqq 2\sqrt{AB}\) … ① が成り立つ。
\(A = x\),  \(B = \dfrac{1}{x}\) とおくと
① より \(x+\dfrac{1}{x}\geqq 2\) が成り立つことがいえた。

① で等号が成り立つのは \(A=B\) のときだから，
問題の不等式で等号が成り立つのは \(x> 0\) かつ \(x=\dfrac{1}{x}\)，
すなわち， \(x=1\) のときである。

\(a > 0\), \(b > 0\) のとき，不等式\((a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right) \geqq 4\) が成り立つことを証明せよ。
また，等号が成り立つのはどのようなときか。

\((a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-4\)
\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\)
ここで， 正の数 \(A\), \(B\) で  \(A+B\geqq 2\sqrt{AB}\) … ① が成り立つ。
\(A = \dfrac{a}{b}\),  \(B = \dfrac{b}{a}\) とおくと  ① より \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geqq 2\)
ゆえに，この式は どんな 正の数 a, b に対しても 0 以上の値をとる。

よって，不等式が成り立つことがいえた。

① で等号が成り立つのは \(A=B\) のときだから，
問題の不等式で等号が成り立つのは \(a> 0\), \(b> 0\) かつ \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}\)，
すなわち， \(a=b\) のときである。