次の和 S を求めよ。
\(S=1\cdot 1+3\cdot 3+ 5\cdot 3^2+\cdots+(2n-1)\cdot 3^{n-1}\)
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|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
… |
|
n |
|
n+1 |
| S |
= |
1 |
+ |
3・3 |
+ |
5・32 |
+ |
… |
+ |
(2n-1)・3n-1 |
| 3S |
= |
|
|
3 |
+ |
3・32 |
+ |
… |
+ |
(2n-3)・3n-1 |
+ |
(2n-1)・3n |
| -2S |
= |
1 |
+ |
2・3 |
+ |
2・32 |
+ |
… |
+ |
2・3n-1 |
- |
(2n-1)・3n |
S の各項における左側が 1, 2, 3, … という1から始まる自然数の列の場合を
基本型
そうでない場合を一般型ということにする。
S - rS を考えたときの n+1 項を
最初の1項, 中の n-1 項, 最後の1項 と分けたほうがいいようだ。
\(\displaystyle{U^\prime=\sum_{k=1}^{n-1} 2\cdot 3^{k}}\)
(U' は 初項6, 公比3, 項数 n-1 の等比数列の和) とおく。
\(2S = (2n-1)\cdot 3^n- U^\prime -1\)
\(=(2n-1)\cdot 3^n-3(3^{n-1}-1)-1\)
\(=(2n-2)\cdot 3^n+2\)
よって，
\(S=(n-1)\cdot 3^n + 1\)