数列1
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
… |
| an |
2 |
3 |
5 |
8 |
12 |
17 |
… |
| 2 | |
3 | |
5 | |
8 | |
12 | |
17 | |
… |
| ╲╱ |
| ╲╱ |
| ╲╱ |
| ╲╱ |
| ╲╱ |
| |
… |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| |
… |
このように，隣どうしの項の差をとることを，階差をとるといい，
できた数列を，もとの数列の階差数列という。
高校では，
式で表すことも大切である。
数列 {an} に対して，
bn = an+1 - an で定まる数列 {bn}を
{an} の階差数列であるという。
階差数列 {bn} から，もとの数列の一般項 an を一気に求める。
そのアイディアを学ぼう。
このアイディアは汎用性がある。
階差数列の定義式
bk = ak+1 - ak を使う。
n は 2以上の自然数とする。
|
ak+1 |
- |
ak |
= |
bk |
| k=1 |
a2 |
- |
a1 |
= |
b1 |
| k=2 |
a3 |
- |
a2 |
= |
b2 |
| k=3 |
a4 |
- |
a3 |
= |
b3 |
| k=4 |
a5 |
- |
a4 |
= |
b4 |
| … |
… |
… |
… |
… |
… |
| k=n-1 |
an |
- |
an-1 |
= |
bn-1 |
| 縦の和 |
an |
- |
a1 |
= |
Tn-1 |
ここで，
Tn-1 = b1 +
b2 +b3 + … +bn-1 (n-1 項の和)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n-1}b_k}\)
よって，
n を 2以上の自然数とするとき，
\(\displaystyle{a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k}\)