例題のない教科書という趣旨からは，
少しずれるようで気がひける。
誰が呼んだか 群数列
数列とは本来リニア(linear)なものだが，
群数列は 2次元数列とも呼べるもの。
ダブルインデックスな数の並びである。
正の奇数の列を，次のように群に分ける。
ただし，第n群には n個の奇数が入るものとする。
1 | 3, 5 | 7, 9, 11 | 13, …
(1) 第n群の最初の奇数を求めよ。
(2) 第n群にあるすべての奇数の和を求めよ。
第 n 群，m 番目の項を An,m と書くとすると，
A1,1,
A2,1,
A2,2,
A3,1,
A3,2,
A3,3,
A4,1, …
となる。通常の数列は各群の項数が 1 の群数列とみることができるし，
各群の項数が一定ならば，そんなに複雑ではない。
各群の項数が(規則はあるが)不定なので，問題が複雑になっている。
そこで，表にまとめることを考える。
| 群 |
先頭の値 |
|
末尾の値 |
項数 |
先頭の通し番号 |
末尾の通し番号 |
| 1 |
1 |
～ |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 2 |
3 |
～ |
5 |
2 |
2 |
3 |
| 3 |
7 |
～ |
11 |
3 |
4 |
6 |
| 4 ① |
13 |
～ |
19 |
4 |
7 |
10 |
| 5 ① |
21 |
～ |
29 |
5 |
11 |
15 ☆ |
| … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
| n-1 |
|
～ |
|
② |
|
④ |
| n |
⑦ |
～ |
⑧ |
③ |
⑤ |
⑥ |
① 設定をまとめただけでなく，
少し先の群の様子を書いてみる。
通し番号という列があるが，
これを考えるのが群数列のポイントである。
本来2次元の表のように数を並べるものを，
一列にするために要りようである。
この問題の設定では，まず ② ③ が書けるのではないか。
第n-1群の項数は n-1, 第n群は n項である。
表のこの部分に注目する。
☆の 15 は 1 + 2 + 3 + 4 + 5 と等しい。
これは偶然ではない。
自分なりに考えてみよう。
ここの理解に，
群数列が分かるかがかかっている。(群数列の第2定理)
すると，④ は
1 + 2 + 3 + 4 + … + (n-1) で
\(\dfrac{1}{2}n(n-1)\) となる。
これは本来は n が 2以上のときで考えたものだが，
n が 1のときも成り立っている。
⑤ は ④ に 1 を加えればよい。 (群数列の第1定理)
⑤ は \(\dfrac{1}{2}n(n-1)+1\) である。
⑥ は \(\dfrac{1}{2}n(n+1)\) である。
N を整数として，2N-1 を N番目の奇数とすれば，
この問題では，⑦ は
\(\dfrac{1}{2}n(n-1)+1\) 番目の奇数である。
したがって，(1)の答えは
\(n^2-n+1\) となる。
ちなみに ⑧ は
\(n^2+n-1\) である。
第n群にある奇数は，
初項 \(n^2-n+1\), 末項 \(n^2+n-1\), 項数 n の等差数列である。
したがって，求める和は
\(\dfrac{1}{2}n\{(n^2-n+1)+(n^2+n-1)\}=n^3\) … (2)答え
| 群 |
先頭の値 |
|
末尾の値 |
項数 |
先頭の通し番号 |
末尾の通し番号 |
| 1 |
1 |
～ |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 2 |
3 |
～ |
5 |
2 |
2 |
3 |
| 3 |
7 |
～ |
11 |
3 |
4 |
6 |
| 4 |
13 |
～ |
19 |
4 |
7 |
10 |
| 5 |
21 |
～ |
29 |
5 |
11 |
15 |
| … |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
| n-1 |
|
～ |
|
n-1 |
|
Ln-1 ☆ |
| n |
\(n^2-n+1\) |
～ |
\(n^2+n-1\) |
n |
Hn |
Ln |
\(L_{n-1}=\dfrac{1}{2}n(n-1)\)
\(H_{n}=\dfrac{1}{2}n(n-1)+1\),
\(L_{n}=\dfrac{1}{2}n(n+1)\)