[1]
n を 1 とすると
(①の左辺) = 1,  (①の右辺) = 1² = 1
よって，n = 1 のとき成り立つ。

[2]
n = k のとき জ が成り立つとするならば，
n = k+1 のとき ① が成り立つことを示す。
つまり
(仮定) 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k² … ②
(結論) 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)² … ③
③ の左辺は
\(1+3+5+\cdots+(2k-1)+(2k+1)\)
\(=k^2+(2k+1)\) … 帰納法の仮定 ② を用いた
\(=(k+1)^2\) … TDN変形
よって，② が成り立つならば ③ が成り立つことがいえた。

[1] [2] より ① は すべての自然数 n で成り立つ。