141115 初版 141115 更新
数学的帰納法の歴史は結構古いらしい。
パスカルやフェルマーはすでに使っていたといわれる。
古い論文では，(数式の記法なども確立していないころ)
「例えば，n が 10 のときは， n が 9 のときに成り立つとして，
次のようにいえる。」
のように，書かれていたらしい。
n が 10 でなければ成り立たないような
特殊な事柄を使っておらず，
n が 9 のときに成り立つという仮定と
常識的な推論のみで説明できればよいとされている。
n が 1 のときは正しいことがいえた。([1])
n が 1 のときに正しいと仮定すれば(事実正しいかった)，
n が 2 のときも正しいことがいえる。([2] で k = 1)
n が 2 のときに正しいと仮定すれば(事実正しいかった)，
n が 3 のときも正しいことがいえる。([2] で k = 2)
n が 3 のときに正しいと仮定すれば(事実正しいかった)，
n が 4 のときも正しいことがいえる。([2] で k = 3)
n が 4 のときに正しいと仮定すれば(事実正しいかった)，
n が 5 のときも正しいことがいえる。([2] で k = 4)
つづく
のように，次々に無限にある自然数に対して，
それぞれ正しいことをいうことができるのである。
まるで，帰納法のようだということで，数学的帰納法と名付けられたらしい。
西洋の数学書の数学的帰納法による証明を読んでいると，
ちょっとニュアンスが異なるのである。
「n のとき正しいことをいいたい。
それは n-1 のとき正しかったとして，
推論すれば，正しいことがいえる。」
(多くの場合がそうであるように n=1 のときは明らかなので書いてない)
再帰的(recursive) な記述なのである。
つまり，とらえ方は逆で，思考法は次のように言い表せる。
好きな自然数を言ってみよ。
例えば，10
n が 10 のときに正しいことは，
n が 9 のときに正しいと仮定すればいえる。
n が 9 のときに正しいことは，
n が 8 のときに正しいと仮定すればいえる。
n が 8 のときに正しいことは，
n が 7 のときに正しいと仮定すればいえる。
しばらく，同様に
n が 3 のときに正しいことは，
n が 2 のときに正しいと仮定すればいえる。
n が 2 のときに正しいことは，
n が 1 のときに正しいと仮定すればいえる。
n が 1 のときは明らかに正しい。
このように，「任意の」自然数に対して，
ひとつさかのぼることができるのなら，
どこか正しいところまで戻って，正しいことがいえるのである。
帰納法の仮定という考えも理解できる。
古来の記述とつながる。
証明という概念は，和算にはなかったらしい。
任意の すべての とか
inductive, recursive とかいう考えは
ヨーロッパ人の発想を身につけなければならないようである。