条件p を満たす集合P, 条件q を満たす集合Q を考える。

P ∩ Q の補集合を考える。
P ∩ Q の要素は，pを満たす しかも qを満たす。
その否定は，

• p は満たさない
• q は満たさない

のいずれかである。
すなわち，\(\overline{\rm P}\) か \(\overline{\rm Q}\) のどちらかに 属する。
よって， \(\overline{{\rm P} ∩ {\rm Q}} =\overline{\rm P} ∪ \overline{\rm Q}\)

P ∪ Q の補集合を考える。
P ∪ Q の要素は，

• p を満たす
• q を満たす

のいずれかである。
その否定は， pを満たさない しかも q を満たさない。
よって， \(\overline{{\rm P} ∪ {\rm Q}} =\overline{\rm P} ∩ \overline{\rm Q}\)

\(\overline{\rm P}\) ∩ \({\rm Q}\) の補集合を考える。
\(\overline{\rm P}\) ∩ \({\rm Q}\) の要素は， pは満たさないが qは満たす。
その否定は，

• p は満たす
• q は満たさない

のいずれかである。
すなわち，\({\rm P}\) か \(\overline{\rm Q}\) のどちらかに 属する。
よって， \(\overline{\overline{\rm P} ∩ {\rm Q}} ={\rm P} ∪ \overline{\rm Q}\)