150412 初版 150417 更新
平方完成
a(x - p)2 の形の式を完全平方式という。
2次式 ax2 + bx + c を a(x - p)2 + q の形に変形することを 2次式の平方完成 という。

レベル 1  完全平方式 (実は因数分解)

(1)  \(x^2-2x+1=(x-1)^2\)
(2)  \(x^2+2x+1=(x+1)^2\)
(3)  \(x^2-4x+4=(x-2)^2\)
(4)  \(x^2+6x+9=(x+3)^2\)
(5)  \(x^2+x+\dfrac{1}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\)
(6)  \(x^2-x+\dfrac{1}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\)
(7)  \(-x^2-2x-1=-(x+1)^2\)
(8)  \(2x^2-8x+8=2(x-2)^2\)
(9)  \(ax^2-2apx+ap^2=a(x-p)^2\)

レベル 2  ax2 + bx

(1)  \(x^2-2x=(x-1)^2-1\)
(2)  \(x^2+2x=(x+1)^2-1\)
(3)  \(x^2-4x=(x-2)^2-4\)
(4)  \(x^2+6x=(x+3)^2-9\)
(5)  \(x^2+x=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)
(6)  \(x^2-x=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)
(7)  \(-x^2-2x=-(x+1)^2+1\)
(8)  \(2x^2-8x=2(x-2)^2-8\)
(9)  \(2x^2+6x=2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{2}\)
(10)  \(ax^2+bx=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}\)

レベル 3  ax2 + bx + c

(1)  \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1\)
(2)  \(x^2+2x-1=(x+1)^2-2\)
(3)  \(x^2-4x+3=(x-2)^2-1\)
(4)  \(x^2+6x+12=(x+3)^2+3\)
(5)  \(x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)
(6)  \(x^2-3x+2=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)
(7)  \(-x^2-2x+1=-(x+1)^2+2\)
(8)  \(2x^2-8x+4=2(x-2)^2-4\)
(9)  \(2x^2+3x+1=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{1}{8}\)
(10)  \(ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\)
(11)  \(x^2+kx+k^2=\left(x+\dfrac{k}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}k^2\)