150422 初版 150422 更新
整式 A, B において，
A = BQ となる 整式 Q があるとき，
A は B の倍数， B は A の約数であるという。
例えば，
\(x^2+2x+1\) や \(x^2+3x+2\) は x + 1 の倍数である。
x + 1 は \(x^2+4x+3\) の約数である。
整式 A, B において，
A - BQ を R とおく。
R が 0 であるかまたは，Rの次数が B の次数より小さいように Q を定める。
このことを A を B で割るといい，
Q を商，R を余りという。
例えば，
\(x^2+4x+5\) を x + 1 で割ると
商は x + 3， 余りは 2 である。
\(x^3-x^2+x-1=(x^2+x+1)(x-2)+2x+1\)
\(x^3-x^2+x-1\) を \(x^2+x+1\) で割ると 商が \(x-2\) で余りは \(2x+1\) である。
一般に A を B で割るということは，
A - BQ = R を満たす Q, R を見つけることである。
ここで， R は 定数であるか，B より次数の低い式である。
実際の手順を見ていこう。
\(A=x^3-x^2+x-1\), \(B=x^2+x+1\) として，
\(A-BQ_1=A_1\) を満たす Q1, A1 を見つけよう。
(A1 は A より次数の低い式)
\(Bx=x^3+x^2+x\) だから, \(A-Bx=-2x^2-1\)
\(A_1-BQ_2=A_2\) を満たす Q2, A2 を見つけよう。
(A2 は A1 より次数の低い式)
\(-2B=-2x^2-2x-2\) だから, \(A_1+2B=2x+1\)
したがって，
\(A=B(x-2)+2x+1\)