数列 {n(n + 1)}: 1・2, 2・3, 3・4, 4・5, … の 初項 から 第n項 までの和を S_n とする。
すなわち，\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^n k(k+1)}\)

n	1	2	3	4	5	6	7
an	1・2	2・3	3・4	4・5	5・6	6・7	7・8
Sn							\(\dfrac{1}{3}\)・7・8・9 ??

p₇君は \(S_7=\dfrac{1}{3}\cdot 7\cdot 8\cdot 9\) を示したい。
p₇君は思った。
\(S_6=\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot 8\) だとすれば， \(S_7=\dfrac{1}{3}\cdot 7\cdot 8\cdot 9\) がいえるのだが…
実際，
S₇ = S₆ + a₇ = \(\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot 8\) \(+7\cdot 8\)
\(=\dfrac{1}{3}\cdot 7\cdot 8\cdot(6+3)=\dfrac{1}{3}\cdot 7\cdot 8\cdot 9\)
p₇君は p₆君にたずねた。 \(S_6=\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot 8\) だよな。

p₆君は \(S_6=\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot 8\) を示したい。
p₆君は思った。
\(S_5=\dfrac{1}{3}\cdot 5\cdot 6\cdot 7\) だとすれば， \(S_6=\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot 8\) がいえるのだが…
実際，
S₆ = S₅ + a₆ = \(\dfrac{1}{3}\cdot 5\cdot 6\cdot 7\) \(+6\cdot 7\)
\(=\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot(5+3)=\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot 8\)
p₆君は p₅君にたずねた。 \(S_5=\dfrac{1}{3}\cdot 5\cdot 6\cdot 7\) だよな。

p₂君は \(S_2=\dfrac{1}{3}\cdot 2\cdot 3\cdot 4\) を示したい。
p₂君は思った。
\(S_1=\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\) だとすれば， \(S_2=\dfrac{1}{3}\cdot 2\cdot 3\cdot 4\) がいえるのだが…
実際，
S₂ = S₁ + a₂ = \(\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\) \(+2\cdot 3\)
\(=\dfrac{1}{3}\cdot 2\cdot 3\cdot(1+3)=\dfrac{1}{3}\cdot 2\cdot 3\cdot 4\)
p₂君は p₁君にたずねた。 \(S_1=\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\) だよな。

p₁君 は答える。
\(a_1=1\cdot 2\) は \(\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\) と等しいので， 安心してください。大丈夫です。

p_k+1の仕事は
(仮定) p_k: \(S_k=\dfrac{1}{3}k(k+1)(k+2)\)
(結論) p_k+1: \(S_2=\dfrac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)\)
証明:
S_k+1 = S_k + a_k+1 = \(\dfrac{1}{3}k(k+1)(k+2)\) \(+(k+1)(k+2)\)
\(=\dfrac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)\)
よって， p_k が成り立つと仮定するならば，p_k+1 が成り立つ。