150518 初版 160424 更新
実験や観測で得られた数値たちを データ という。
n 個 のデータ x1, x2, x3, … ,xn
を整理する。
平均
n 個のデータの和を，個数 n で割ったものを平均という。
\(\displaystyle{\overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k}\)
偏差
xk と平均との差
\(x_k-\overline{x}\) を xk の偏差という。
分散
偏差の２乗の平均を，分散という。
分散の正の平方根を，標準偏差 σ という。
\(\displaystyle{\sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n(x_k-\overline{x})^2}\)
分散
\(\displaystyle{\sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n{x_k}^2-\overline{x}^2}\)
「データの２乗」の平均 から 「平均の２乗」を引く。
\(\displaystyle{\sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n(x_k-\overline{x})^2}\)
\(\displaystyle{=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n({x_k}^2
-2x_i\cdot\overline{x}+\overline{x}^2)}\)
\(\displaystyle{=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n{x_k}^2-2\overline{x}\cdot
\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_i\right)+\dfrac{1}{n}\cdot n\cdot \overline{x}^2}\)
\(\displaystyle{=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n{x_k}^2-2\overline{x}^2
+\overline{x}^2}\)
\(\displaystyle{=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n{x_k}^2-\overline{x}^2}\)
標準偏差
分散の正の平方根を，標準偏差という。