151116 初版 151116 更新
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\) … ①
\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\) … ②
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\) … ③
\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\) … ④
中間式
① ② より，
\(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta\) … ⑤
\(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\) … ⑥
③ ④ より，
\(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta\) … ⑦
\(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta\) … ⑧
和→積の公式
\(\alpha+\beta=A\), \(\alpha-\beta=B\) とおくと
\(\alpha=\dfrac{A+B}{2}\), \(\beta=\dfrac{A-B}{2}\)
⑤ より \(\sin A+\sin B=2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}\)
⑥ より \(\sin A-\sin B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}\)
⑦ より \(\cos A+\cos B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}\)
⑧ より \(\cos A-\cos B=-2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}\)
積→和の公式
⑤ より
\(\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))\)
⑥ より
\(\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta))\)
⑦ より
\(\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))\)
⑧ より
\(\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta))\)
例
\(\sin 3x+\sin x = 2\sin 2x\cos x\)
\(\sin 3x-\sin x = 2\cos 2x\sin x\)
\(\cos 3x+\cos x = 2\cos 2x\cos x\)
\(\cos 3x-\cos x = -2\sin 2x\sin x\)
\(\sin3x\sin x=-\dfrac{1}{2}(\cos 4x-\cos 2x)\)
\(\sin3x\cos x=\dfrac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)\)
\(\cos3x\sin x=\dfrac{1}{2}(\sin 4x-\sin 2x)\)
\(\cos3x\cos x=\dfrac{1}{2}(\cos 4x+\cos 2x)\)
実際は，中間式で十分かも。