http://goo.gl/MFRFj 121213 初版
まあねえ，数学はそういわれれば全部当たり前なんですよ。
自然数の列を，第\(n\)群には\(2^{n-1}\)個入るように，区切る。
1 | 2,3 | 4,5,6,7 | 8,9,…
第\(n\)群の最初の数を\(n\)を用いて表せ。
もちろん答えは，
\(2^{n-1}\)
これは正解。
最近，文部科学省の肩をもつようだが，
平成21年3月の
高等学校学習指導要領総則にこう書かれている。
学校の教育活動を進めるに当たっては，
各学校において，生徒に生きる力をはぐくむことを目指し，
創意工夫を生かした特色ある教育活動を展開する中で，
基礎的・基本的な知識及び技能を確実に習得させ，
これらを活用して課題を解決するために必要な
思考力，判断力，表現力その他の能力をはぐくむとともに，
主体的に学習に取り組む態度を養い，個性を生かす教育の充実に努めなければならない。
その際，生徒の発達の段階を考慮して，生徒の言語活動を充実するとともに，
家庭との連携を図りながら，生徒の学習習慣が確立するよう配慮しなければならない。
この問題の説明として，
各群の初項は，1,2,4,8,…だから，\(2^{n-1}\)
と答えると，私は不満げな顔をする。
それをみる生徒も不満そうである。
私が不満である理由は，
この説明は，論理に飛躍がある，表現力に乏しいという点である。
高校生という発達段階を考慮するならば，もう少しまともな言語能力を期待したい。
数列 1,2,4,8,…の一般項を答えよ。
という問いならば，それでよいだろう。
だが，この問題はそうではない。
各群の初項が1,2,4,8,…となる理由も求められているからである。
中学ではそんなこと言われませんでした。
それこそ当たり前である。
だから，文部科学省も発達段階を考慮して と，わざわざいっている。
定期テストではすばらしい点を取るのに，
模擬試験はいまひとつという場合，
理由はいろいろと考えられるが，
(本質がわかっていないことが一番大きなものだろうけど)
こんなのでいいやという甘さ，学問に対する畏怖の欠如だろうと思う。
入試の採点者は，面識のない人である。
論文を提出して，みてもらうにしても，
専門の論文なら，事実上友だちが見てくれるようなものである。
でも，書き手はそう思って書かず，読み手も友だちだから，
なんて思って読むことはない。
昔日本では，数学の問題は試合みたいなもので，
解けると，神社や仏閣に算額という形で奉納したという。
いまの生徒は学問に対しての畏怖を失っているように感じる。
幼稚だ。だから，ホンモノには認められない。かわいそうに。
やはり，学問の神様はいるし，人間は，まして，高校生は万能ではない。
それを知らなければ，どんな試験も受からない。
第\(n\)群の初項を\(H_n\)とすると，
各群には\(2^{n-1}\)個の自然数があるのだから，
\(H_1=1\), \(H_{n+1}=H_n+2^{n-1}\)
したがって，\(n\geqq 2\)のとき，
\(\displaystyle{H_n=H_1+\sum_{k=1}^{n-1}(H_{k+1}-H_k)}\)
\(\displaystyle{=1+\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}=2^{n-1}}\)
この式は，\(n=1\)のときも，\(H_1\)の値を与える。
こんな説明しかないとはいわないけどな。
問題は，全部証明問題だと思ったほうがいい。