三角形の内心 220310

三角形ABC の内心を I とします。
直線AI は、角BAC の二等分線です。

線分AI の長さを求めてみましょう。
直線AI と 辺BC との交点を K とします。
角の二等分線の性質により、BK : KC がわかります。
よって、線分BK の長さがわかります。
△ABC に余弦定理を用いれば、cos B の値がわかります。
よって、△ABK に余弦定理を用いれば、線分AK の長さがわかります。
直線BI は、角BAK の二等分線ですから、
角の二等分線の性質により、AI : IK がわかります。
したがって、AI の長さを求めることができます。
比AI : IK の値は、△ABK と直線IC にメネラウスの定理を用いてもわかります。

△ABC の内接円の半径 r を求めてみましょう。
BC = a, CA = b, AB = c とします。
△IBC の面積は \(\frac{1}{2}ar\), △ICA の面積は \(\frac{1}{2}br\), △IAB の面積は \(\frac{1}{2}br\) です。
この3つの三角形の面積の和は、△ABC の面積 S に等しいです。
したがって、△ABC の面積 S と内接円の半径 r、辺の長さa, b, c について、 次の関係式が見つかります。
周の長さを \(s=a+b+c\) とおいて、 \(S=\frac{1}{2}rs\)

他にも、面白いことが見つかります。
例えば、4点A, E, I, F は同一円周上にあり、 線分AI はその円の直径です。