2点間の距離 点と直線の距離 220318

A (x₁, y₁), B (x₂, y₂), C (x₂, y₁) とします。
直角三角形 ABC の斜辺 AB の長さは、 ピタゴラスの三平方の定理により、
\(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) となります。
これが、2点A, B 間の距離です。

A (x₀, y₀) と 直線 ℓ: ax + by + c = 0 との距離 d を求めてみましょう。
点A と直線ℓ の距離とは、 ℓ 上の任意の点 P に対して、 2点 A, P 間の距離の最小値です。
最小値を与える点P を H とすれば、 AH と ℓ は垂直です。
H (x₁, y₁) とします。 \(ax_1+by_1+c=0\) が成り立ちます。 少し変形して、
\(a(x_0-x_1)+b(y_0-x_1)=ax_0+by_0+c\) … ①
A を通り ℓ に 垂直な直線ℓ' の方程式は、 \(bx-ay=bx_0-ay_0\) です。
H は直線 ℓ' 上の点ですから、
\(b(x_0-x_1)-a(y_0-y_1)=0\) … ② が成り立ちます。
① ② より、 \(k=\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}\) とおくと
\(x_0-x_1=ak\),  \(y_0-y_1=bk\)
d は \(\sqrt{(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2}\) です。
\((x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2=(a^2+b^2)k^2\) \(=\dfrac{(ax_0+by_0+c)^2}{a^2+b^2}\) ですから、
\(d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)