2直線の位置関係 220318

2直線の平行条件を考えてみましょう。
傾きの定義により、傾きが存在すれば、
2直線が平行である必要十分条件は、傾きが等しい となります。

2直線の垂直条件を考えてみましょう。
原点O, 点A をとって、 点A を原点を中心に回転してみます。
A から、x 軸, y 軸に垂線を下し、長方形OBAC を回転した様子を考察します。
最初のA を A₀, 90度回転させた後のA を A₁ とします。
A₀ (a, b) とすると A₁ (-b, a) であることが分かります。
直線OA₀ の傾きを \(m\) とすると、 直線OA₁ の傾きは \(-\frac{1}{m}\) です。
傾きが存在すれば、
2直線が垂直である必要十分条件は、傾きの積が \(-1\) となります。

A(x₁, y₁) は、 直線 ℓ: ax + by + c = 0 上にあると仮定します。
このとき、点B (x₁ - b, y₁ + a) が ℓ 上の点であることは、次のようにして分かります。
\(a(x_1-b)+b(y_1+a)+c\) \(=ax_1-ab+by_1+ab+c\) \(=ax_1+by_1+c\)
仮定より、この値は 0 ですから、 B はℓ 上の点であることがいえました。
直線上の任意の2点を結ぶ有向線分を、 その直線の方向ベクトルといいます。
いま、点A から 点B への有向線分を 成分を (-b, a) を成分とするベクトルといいます。
ベクトル (-b, a) は 直線ℓ の方向ベクトルの一つです。

直線 ax + by + c = 0 を ℓ₁ とします。
ℓ₁ に対して、 直線 bx - ay + c' = 0 を ℓ₂ とします。
ℓ₁ の方向ベクトルは (-b, a)、 ℓ₂ の方向ベクトルは (a, b) ですから、
ℓ₁ と ℓ₂ は垂直であることが分かります。
直線と垂直な有向線分を、その直線の法線ベクトルといいます。
ベクトル (a, b) は 直線ℓ₁の法線ベクトルの一つです。