サイクロイドまとめ 220520

円が定直線に接しながら、すべることなく回転するとき、
円周上の定点P が描く曲線をサイクロイドといいます。

円の半径をa, t = 0 のときの P の位置を原点とします。
P の座標は媒介変数 t を用いて次のように表されます。
\(x=a(t-\sin t)\), \(y=a(1-\cos t)\) … ①
① で t を 0 から \(2\pi\) まで変化させたときの軌跡を C とします。

曲線 C と x 軸とで囲まれた部分の面積を求めてみましょう。

\(\displaystyle{\int_0^{2\pi a}y\ dx}\)
\(\displaystyle{=\int_0^{2\pi}a^2(1-\cos t)^2\ dt}\)
\(=3\pi a^2\)

\(y=a(1-\cos t)\)
\(dx=a(1-\cos t)\ dt\)
\(\displaystyle{\int_0^{2\pi}dt=2\pi}\)
\(\displaystyle{\int_0^{2\pi}\cos t\ dt=[\sin t]_0^{2\pi}=0}\)
\(\displaystyle{\int_0^{2\pi}\cos^2 t\ dt}\)
\(=\displaystyle{\int_0^{2\pi}\dfrac{1+\cos 2t}{2}\ dt}\)
\(=\left[\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin 2t\right]_0^{2\pi}=\pi\)

曲線 C と x 軸とで囲まれた部分を x 軸の周りに回転させた回転体の体積を求めてみましょう。

\(\displaystyle{\int_0^{2\pi a}\pi y^2\ dx}\)
\(\displaystyle{=\int_0^{2\pi}a^3(1-\cos t)^3\ dt}\)
\(=5\pi a^3\)

\(\displaystyle{\int_0^{2\pi}\cos^3 t\ dt=0}\) である説明
\(\displaystyle{\int_0^{2\pi}\cos^3 t\ dt}\)
\(\displaystyle{=\int_0^{\pi}\cos^3 t\ dt}\) \(\displaystyle{+\int_{\pi}^{2\pi}\cos^3 t\ dt}\)
\(\displaystyle{=\int_0^{\pi}\cos^3 t\ dt}\) \(\displaystyle{+\int_{0}^{\pi}\cos^3 (\pi+t)\ dt}\)
\(\displaystyle{=\int_0^{\pi}\cos^3 t\ dt}\) \(\displaystyle{+\int_{0}^{\pi}(-\cos t)^3\ dt=0}\)