YouTube 点の存在範囲
東京大 2023
O を原点とする座標空間において、
不等式 |x|≦ 1, |y|≦ 1, |z|≦ 1 を表す立方体を考える。
その立方体の表面のうち、z< 1 を満たす部分をS とする。
(1) 座標空間内の点P が次の条件(i), (ii) を共に満たすとき、
点P が動きうる範囲V の体積を求めよ。
(i) \({\rm OP}\leqq \sqrt{3}\)
(ii) 線分OP と S は、共有点を持たないか、点P のみを共有点に持つ。
(2) 座標空間内の点N と点P が次の条件 (iii), (iv), (v) をすべて満たすとき、
点P が動きうる範囲W の体積を求めよ。
必要ならば、\(\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) を満たす実数 \(\alpha\)
\(\left(0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}\right)\) を用いてよい。
(iii) \({\rm ON}+{\rm NP}\leqq \sqrt{3}\)
(iv) 線分ON と S は共有点を持たない。
(v) 線分NP と S は、共有点を持たないか、点P のみを共有点に持つ。