漸化式 その3

\(a_{n+1}=ra_n+pn+q\)

\(a_{n+2}=ra_{n+1}+pn+q+p\)であるから
\(a_{n+1}-a_{n}=b_n\)とおくと，\(b_{n+1}=rb_n+p\)
さらにこれは\(k=\frac{p}{1-r}\)を用いて\(b_{n+1}-k=r(b_n-k)\)と変形できるから
\(b_n=(b_1-k)r^{n-1}+k\)
ここで\(b_1=a_2-a_1=ra_1+p+q-a_1=(r-1)a_1+p+q\)
したがって， \(\displaystyle{a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\left(\left(r-1\right)a_1+\left(p+q\right)+\frac{p}{r-1}\right)r^{k-1} -\frac{p}{r-1}\right)}\)
\(\displaystyle{a_n=a_1+\left(\left(r-1\right)a_1+\left(p+q\right)+\frac{p}{r-1}\right)\cdot\frac{r^{n-1}-1}{r-1} -(n-1)\cdot\frac{p}{r-1}}\)

\(\displaystyle{a_n=\left(a_1+\frac{p+q}{r-1}+\frac{p}{(r-1)^2}\right)\cdot r^{n-1} -\frac{pn+q}{r-1}-\frac{p}{(r-1)^2}}\)