121124 初版
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MathJaxがあまりにいいので, 調子に乗って書いてみる
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放物線の弦の長さを計算してみます。
放物線\(y=2x^2-3x-2\)が直線\(y=2x+3\)を切り取る線分の長さ, 弦の長さを求めよう。
弦の両端を点A, Bとして, A\((x_1,y_1)\),  B\((x_2,y_2)\)とおく
\(y\)を消去して, \(2x^2-3x-2=2x+3\)⇔ \(2x^2-5x-5=0\)
よって,\(x_1=\alpha\), \(x_2=\beta\)はこの方程式の解であり,
\(|\beta-\alpha|=\dfrac{\sqrt{65}}{2}\)
\(\beta-\alpha\)の計算方法を3通り挙げる。
この場合何が何でも解と係数の関係という感じはしない。
大切なのは自分で考えて,正しく求めることである。
解と係数の関係を使わなければ解けないことがあったら,紹介する。
2次方程式程度でガタガタいわないほうがいい,解は高々2個しかないのだから。
解の公式を使って,
\(x=\dfrac{5\pm\sqrt{65}}{4}\)
すなわち… とやってよい。
なんだっけなんだっけアッー,より全然いい。
2次式の平方完成がしてあったら,
\(2x^2-5x-5=2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{65}{8}\)を使ってもよい。
最後にもちろん解と係数の関係
\(\alpha,\ \beta\)が\(2x^2-5x-5=0\)の解ならば, \(\alpha+\beta=\dfrac{5}{2}\), \(\alpha\beta=-\dfrac{5}{2}\)である。
\((\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\)だから,
\((\beta-\alpha)^2=\dfrac{25}{4}+10=\dfrac{65}{4}\)
むしろ問題は\(y_2-y_1\)である。
\(y_1=2\alpha^2-3\alpha-2\),  \(y_2=2\beta^2-3\beta-2\)としてしまったとしよう。
早まって,α, βを直接代入はしないほうがいい。
少なくとも,式のまま引こう。
\(y_2-y_1=2(\beta^2-\alpha^2)-3(\beta-\alpha)\)
\(2\alpha^2-5\alpha-5=0\)だから,\(2\alpha^2=5\alpha-5\),などを使うと, (スーパー剰余の定理の考えである。)
\(y_2-y_1=2(\beta^2-\alpha^2)-3(\beta-\alpha) =2(\beta-\alpha)\)
さすがに \(y_1=2\alpha+3\),  \(y_2=2\beta+3\)を使うよな。
当たり前というよりは,上のやってしまった感のある ものを取り繕った手法の方向性は知るべきである。
せっかくここまでして,早まって,α, βを直接代入はしないほうがいい。
少なくとも,式のまま引こう。
\(y_2-y_1=2(\beta-\alpha)\)
\({\rm AB}^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 =(\beta-\alpha)^2+4(\beta-\alpha)^2=5(\beta-\alpha)^2\)
したがって,ABの長さは,\(\dfrac{5}{2}\sqrt{13}\)
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