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121128 初版 121208 更新
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MathJaxがあまりにいいので, 調子に乗って書いてみる
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どうやらそろそろ,Q上既約な2次式についての理論を
まとめたほうがよさそうだ。
3次以上の既約多項式を扱う機会は高校ではほとんどない。
高校で扱う代数的な数は結局2次方程式の解レベルである。
教科書にはあまり取り扱っていないので,ここに記す。

αを2次方程式ax2+bx+c=0の解とするとき,
αを2次式ax2+bx+cの零点という。
2次式という場合,このaは零でないので,
零点を考える場合にはaを1として十分である。
以下x2の係数は1として,
有理数係数の2次式x2+ax+bを考える。
有理数係数の2次式x2+ax+bの零点が無理数であるとき,
この2次式はQ上既約であるという。
有理数の範囲では因数分解できないことと同値である。
スーパー剰余の定理
有理係数の2次式g(x)=x2+px+qについて,
多項式f(x)g(x)で割った余りは高々1次式でax+bとする。
αをg(x)の零点とすると,f(α)=aα+b
証明は普通の 剰余の定理と 同じであり,
除法の原理
f(x)g(x)q(x)=ax+b ただしq(x)f(x)g(x)で割った商
を使う。
もちろんQ上既約でなくてもいい。
α=22, f(x)=x33x2+4x2のとき,
f(α)を計算してみる。
よく問題集,参考書にありがちな問題である。
参考書には割り算を利用して,なんて書いてあると,
どうしても利用しなくてはいけない気になるが,そんなことはない。
代入して普通に展開できる計算力も大切である。
問題は,従来の方法では2次式での割り算が厄介で,
割り算も間違うし,そのくらいなら普通に代入がいいと思うくらいなのである。
それを解消するのが,ハイパー組立除法®(笑)(super, hyper, ultra なんでもいい)である。
(理論と方法)
αはx24x+2の零点なので
f(x)をこれで割ってみると,
1342
222
444
1164
商はx+1,余りは6x4である。
よって,f(α)=6α4=862

次数下げで求める方法も書いておく。

αはx24x+2の零点なので,α2=4α2
α3=αα2 =α(4α2)=4α22α =4(4α2)2α=14α8
f(α)=α33α3+4α2 =(14α8)3(4α2)+4α2=6α4

こうやって,帰納的に(逐次的に)1次式に落とすことも大切であるが,
2次の組立除法のほうが楽である。

応用