MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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3次関数の極値の計算は厄介である。
分数くらいなら，いい計算練習だが，
無理数(たいていは2次の無理数)なので，
スーパー剰余の定理
を使うことにする。
一般の3次関数で計算してみる。
\(f(x)=x^3+px^2+qx+r\)とする。
\(x=\alpha\)で極大値\(f(\alpha)\)，
\(x=\beta\)で極小値\(f(\beta)\)をとるとする。
\(f(\alpha)-f(\beta)\)を求めてみる。
\(f^\prime(x)=3x^2+2px+q\)で，
\(f^\prime(\alpha)=0\)より，\(\alpha^2+\dfrac{2p}{3}\alpha+\dfrac{q}{3}=0\)である。
\(f(x)\)を\(x^2+\dfrac{2p}{3}x+\dfrac{q}{3}\)で割った余りは\(\dfrac{-2(p^2-3q)x-pq+9r}{9}\)だから，
\(f(\alpha)=\dfrac{-2(p^2-3q)\alpha-pq+9r}{9}\)
| \(1\) | \(p\) | \(q\) | \(r\) |
| \(-\dfrac{q}{3}\) | | | \(-\dfrac{q}{3}\) | \(-\dfrac{pq}{9}\) |
| \(-\dfrac{2p}{3}\) | | \(-\dfrac{2p}{3}\) | \(-\dfrac{2p^2}{9}\) | |
| \(1\) | \(\dfrac{p}{3}\) | \(\dfrac{-2(p^2-3q)}{9}\) | \(\dfrac{-pq+9r}{9}\) |
βも同様なので，
\(f(\alpha)-f(\beta)=\dfrac{-2(p^2-3q)}{9}(\alpha-\beta)\)
ここで，
α, βは\(f^\prime(x)\)の零点だから，解と係数の関係より，
\(\alpha+\beta=-\dfrac{2p}{3}\), \(\alpha\beta=\dfrac{q}{3}\)
\(p=-\dfrac{3}{2}(\alpha+\beta)\), \(q=3\alpha\beta\)を代入する。
\(p^2-3q=\dfrac{9}{4}((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta)=\dfrac{4}{9}(\alpha-\beta)^2\)だから，
\(f(\alpha)-f(\beta)=-\dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)^3=\dfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^3\)
別の方法で計算してみる。
\(f(\alpha)-f(\beta)=(\alpha^3-\beta^3)+p(\alpha^2-\beta^2)+q(\alpha-\beta)\)
\(p=-\dfrac{3}{2}(\alpha+\beta)\), \(q=3\alpha\beta\)を代入する。
\(f(\alpha)-f(\beta)=(\alpha^3-\beta^3)+p(\alpha^2-\beta^2)+q(\alpha-\beta)\)
\(=(\alpha^3-\beta^3)-\dfrac{3}{2}(\alpha+\beta)(\alpha^2-\beta^2)+3\alpha\beta(\alpha-\beta)\)
\(=-\dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)(-2(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)+3(\alpha+\beta)^2-6\alpha\beta)\)
\(=-\dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)(\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2)\)
\(=-\dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)^3=\dfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^3\)