MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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2つの放物線\(y=2x^2-2x+1\)と\(y=x^2+2x\)で囲まれた部分の面積を求める問題
グラフ
面積は，
線分の長さに重みをつけて足し合わせればよい。
時間があったらきちっと平方完成して，
放物線の上下関係を見たほうがいい。
\(f(x)=2x^2-2x+1=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\)
\(g(x)=x^2+2x=\left(x+1\right)^2-1\)
積分する関数は，
\(g(x)-f(x)=-x^2+4x-1\)である。
積分する区間は，
\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)の2つの共有点の\(x\)座標のあいだであるが，
見方を変えると線分の長さが0となる\(x\)座標のあいだである。
すなわち，\(g(x)-f(x)\)の零点をα, βとすると，(\(\alpha < \beta\))
(α, βは方程式\(f(x)=g(x)\)の解であるといっても同じである。)
\(\alpha\leqq x\leqq \beta\)が積分区間である。
このように，問題を解くときには，
流れを作っておいて，
計算は必要に応じて行うほうがよい。
したがって，求める面積\(S\)は，
\(\displaystyle{S=\int_\alpha^\beta\ (-x^2+4x-1)\ dx}\)
この積分の値は，
有名な公式により，
\(\dfrac{-1}{6}\cdot (-1)\cdot (\beta-\alpha)^3\)
ここで，α, βは\(2\pm\sqrt{3}\)だから，\(\beta-\alpha=2\sqrt{3}\)で，
\(S=4\sqrt{3}\)
このくらいなら，解と係数の関係を使うまでもない。