MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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公式たち
どのくらい公式があるといいのかというのを
知りたいので載せて問題からlinkをはる。
\(\displaystyle{\int_\alpha^\beta\ (x-\alpha)(x-\beta)\ dx=\dfrac{-1}{6}(\beta-\alpha)^3}\)
同じことだが
\(x^2\)の係数が1である2次式\(f(x)\)の零点をα, β とする。
すなわち，α, βは2次方程式\(f(x)=0\)の解である。
\(\displaystyle{\int_\alpha^\beta\ f(x)\ dx=\dfrac{-1}{6}(\beta-\alpha)^3}\)
導出 TaDaNo計算
\(\displaystyle{\int_\alpha^\beta\ (x-\alpha)(x-\beta)\ dx}\)
\(=\displaystyle{\int_\alpha^\beta\ (x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta)\ dx}\)
\(=\displaystyle{\left[\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}(\alpha+\beta)x^2+\alpha\beta x\right]_\alpha^\beta}\)
\(=\dfrac{1}{3}(\beta^3-\alpha^3)-\dfrac{1}{2}(\alpha+\beta)(\beta^2-\alpha^2)+\alpha\beta(\beta-\alpha)\)
\(=\dfrac{-1}{6}(\beta-\alpha)\left(-2(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)+3(\alpha+\beta)^2-6\alpha\beta\right)\)
\(=\dfrac{-1}{6}(\beta-\alpha)\left(\beta^2-2\alpha\beta+\alpha^2\right)\)
\(=\dfrac{-1}{6}(\beta-\alpha)^3\)
別の方法
部分積分法
\(\displaystyle{\int_\alpha^\beta\ (x-\alpha)(x-\beta)\ dx}\)
\(=\displaystyle{\left[\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^2(x-\beta)\right]_\alpha^\beta
-\int_\alpha^\beta\ \frac{1}{2}(x-\alpha)^2\ dx}\)
\(=\displaystyle{\left[\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^2(x-\beta)\right]_\alpha^\beta
-\left[\dfrac{1}{6}(x-\alpha)^3\right]_\alpha^\beta}\)
\(=\dfrac{-1}{6}(\beta-\alpha)^3\)