131024 初版 131024 更新
a, b, n を 0 以上の整数とする。
与えられた n に対して、
a + b = n となる 組(a, b) の個数は n + 1 である。
いわゆる重複組合せの問題だと思って、
H の記号はよくわからないので、
\(\dfrac{(n+1)!}{n!\cdot 1!}\)
というのはどうなのだろう。
a = 0, 1, 2, … n - 1, n の n + 1 個
と答えるはどうだろうか。
a, b, c, n を 0 以上の整数とする。
与えられた n に対して、
a + b + c = n となる 組(a, b) の個数は \(\dfrac{1}{2}(n+1)(n+2)\) である。
解き方を知っている人は
\(\dfrac{(n+2)!}{n!\cdot 2!}\)
でも、
c = k に対して、
a + b = n - k となる 組(a, b) の個数は n + 1 - k である。
よって、求める個数は
\(S_2 = \displaystyle{\sum_{k=0}^n (n+1 - k)}\)
これは、\(S_2 = \displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1} k = \dfrac{1}{2}(n+1)(n+2)}\)
と答えるはどうだろうか。
a, b, c, c, n を 0 以上の整数とする。
与えられた n に対して、
a + b + c + d = n となる 組(a, b) の個数は n + 1 である。
解き方を知っている人は
\(\dfrac{(n+3)!}{n!\cdot 3!}\)
でも、
d = k に対して、
a + b + c = n - k となる 組(a, b) の個数は \(\dfrac{1}{2}(n+1-k)(n+2-k)\) である。
よって、求める個数は
\(S_3 = \displaystyle{\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{2}(n+1-k)(n+2-k)}\)
これは、\(S_3 = \displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{2}k(k+1) = \dfrac{1}{6}(n+1)(n+2)(n+3)}\)
と答えるはどうだろうか。
そして、
\(\dfrac{1}{2}k(k+1) = {}_{k+1}{\rm C}_2\) なので、
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n+1} {}_{k+1}{\rm C}_2
= \dfrac{1}{6}(n+1)(n+2)(n+3) = {}_{n+3}{\rm C}_3}\)