121216 初版
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よくある問題で，四面体の体積を計算してみる。
公式もあるのだが，
問題では，具体的に座標が設定されているし，
誘導も付いているので，
公式を導くのに等しいことをさせている。
公式は，結果のみ覚えるのではない。
自分で導けない公式は，使ってはいけないのではないか。
四面体OABCの体積を計算せよ。
\(\overrightarrow{\rm OA}=\vec{a}\),
\(\overrightarrow{\rm OB}=\vec{b}\),
\(\overrightarrow{\rm OC}=\vec{c}\),
とする。
実際の問題では，座標が設定されていることが多い。
まず，三角形OBCを底面として，
底面積を計算する。
\(S=\triangle{\rm OBC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{b}\right|^2\left|\vec{c}\right|^2-\left(\vec{b}\cdot\vec{c}\right)^2}\)
ある問題では，この公式も証明するに相当することをさせている。
三角形OBCにおいて，辺BC上に点Qをとり，垂線OQを引く。
OQの長さを計算せよ。
いろいろな手法があるが，
今回は
正射影
の考えを使ってみる。
∠OBC=αとして，
\(\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{\rm BO}\cdot\overrightarrow{\rm BC}}{|\overrightarrow{\rm BO}||\overrightarrow{\rm BC}|}\)
\(=\dfrac{\vec{b}\cdot(\vec{b}-\vec{c})}{|\vec{b}||\vec{b}-\vec{c}|}\)
よって，
\(\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\dfrac{\vec{b}\cdot(\vec{b}-\vec{c})}{|\vec{b}||\vec{b}-\vec{c}|}\right)^2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2-\left(\vec{b}\cdot\vec{c}\right)^2}}{|\vec{b}||\vec{b}-\vec{c}|}\)
\({\rm OQ}={\rm OB}\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2-\left(\vec{b}\cdot\vec{c}\right)^2}}{|\vec{b}-\vec{c}|}\)
よって，
\(S=\dfrac{1}{2}{\rm BC}\cdot{\rm OQ}\)
\(=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{b}\right|^2\left|\vec{c}\right|^2-\left(\vec{b}\cdot\vec{c}\right)^2}\)
次に，点Aから平面OBCに垂線ARを引く。
Rは平面OBC上の点だから，
\(\overrightarrow{\rm OR}=s\vec{b}+t\vec{c}\) なる\(s\), \(t\)がある。
線分ARは線分OBと垂直だから，
\(\overrightarrow{\rm AR}\cdot\vec{b}=0\) すなわち
\(\vec{b}\cdot\overrightarrow{\rm OR}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)
\((\vec{b}\cdot\vec{b})s+(\vec{b}\cdot\vec{c})t=\vec{b}\cdot\vec{a}\)
同様に，
線分ARは線分OCと垂直だから，
\(\overrightarrow{\rm AR}\cdot\vec{c}=0\) すなわち
\(\vec{c}\cdot\overrightarrow{\rm OR}=\vec{c}\cdot\vec{a}\)
\((\vec{c}\cdot\vec{b})s+(\vec{c}\cdot\vec{c})t=\vec{c}\cdot\vec{a}\)
つづく